Разклонен алгоритъм

Материал, който събира пет различни начина за подхождане към една задача и показва защо всеки от тях се появява там, където предходният се проваля. Именно тази последователност държи изложението. Всеки нов подход не е представен сам за себе си, а като отговор на недостатък на предишния — така се вижда логиката, по която са възникнали. Темата обхваща основните подходи в проектирането на алгоритми и е събрана на седем страници. Първата част е за разделянето на подзадачи. Тя започва с трите стъпки на метода, а после веднага минава към конкретен пример — умножение на две многоразредни числа. Именно този пример е най-силната част. Показано е как обичайният начин изисква определен брой умножения, как едно преобразуване спестява едно от тях и как оттам сложността пада. Изводът е проверен и с числа — две четириразредни числа, при които се брои колко умножения излизат по всеки от двата начина. Следва пълното извеждане на общата зависимост. То минава през няколко последователни замествания и завършва с разглеждане на три случая според съотношението между два параметъра. При всеки случай е получена отделна оценка. Втората част въвежда следващия подход и обяснява кога предходният не върши работа — когато броят на подзадачите зависи от размера на входа. Третата част е за търсенето с връщане назад. Тя стъпва изцяло на една задача — пресичане на пустиня с ограничен запас от гориво. Задачата е решавана постъпателно, като на всяка стъпка се пита къде трябва да стои поредният склад, а отговорът за предходния се използва при следващия. Особено ценен е този начин на изложение. Читателят не получава готова формула, а върви заедно с разсъждението, докато решението се самоизгради. Четвъртата част е за постъпателните алгоритми, разгледани чрез две различни разграничения, а после и чрез задача за връщане на пари, представена в номерирани стъпки. Петата част е за вероятностните алгоритми. Разграничени са от обичайните, обяснено е кое ги прави такива, а после са изброени три техни разновидности. Приведена е и формула за получаване на случайни числа, следвана от примерна програма. Материалът съдържа три чертежа и множество изрази, а на места е даден и код. За преподавателя това е готова опора за няколко часа, при която всяка част върши работа и поединично. Студентът получава петте подхода на едно място, с по един разработен пример при всеки.

Готов лабораторен протокол с три решени задачи. Всяка е дадена изцяло – условие, блокова схема и работеща програма, готова за въвеждане и изпробване. Именно тази пълнота го отличава. Студентът не получава указания как да реши задачата, а вижда завършеното решение и може да го сравни със своето. Материалът е първи протокол по програмиране и обхваща десет страници. Първата задача е за пресмятане на корените на уравнение от втора степен. Тя е и най-обширната, защото условието изрично изисква да се разгледат всички възможни стойности на коефициентите. Именно това я прави най-полезната от трите. Решението не се ограничава до обичайния случай, а обхожда последователно пет положения: когато два от коефициентите са нула, когато е нула само единият, когато е нула свободният член и накрая трите възможности според знака на дискриминантата. Особено ценна е частта за отрицателна дискриминанта. Тук програмата не спира с грешка, а пресмята комплексни корени, като реалната и мнимата част се въвеждат като отделни променливи още преди разклонението. Втората задача е за прост калкулатор с четирите основни действия. Решението стъпва на конструкция за избор по стойност на един знак, при която всеки случай е даден на отделен ред. Предвиден е и случаят, в който въведеният знак не съвпада с нито един от очакваните. Именно тази задача е удобна за начинаещи – кратка е, но показва две неща наведнъж: работа със символна променлива и разклонение с повече от два изхода. Третата задача е за пресмятане на функция, зададена с три различни израза в зависимост от това в кой участък попада входната стойност. Решението е изградено с последователни проверки, като при всеки случай се извежда и самият израз, по който е пресметнато. Всяка от трите програми е с еднакво устройство: обявяване на променливите, въвеждане с подкана към потребителя, пресмятане и извеждане на резултата, накрая спиране преди затваряне на прозореца. Приложена е и блокова схема към първата задача. Преподавателят получава готов протокол, годен за мерило при проверка, а трите задачи вършат работа и поединично като упражнения в час. Студентът получава три работещи решения, които може да въведе, да изпробва и да преработи според собственото си условие.

Def. Един обект се нарича рекурсивен, ако се съдържа в себе си, или е дефиниран чрез себе си. В компютърните науки рекурсията е една от най-мощните техники на програмиране: чрез нея елегантно се дефинират алгоритми, съставят се удобни и гъвкави структури от данни. При програмирането на рекурсивни функции трябва да се обърне внимание на няколко важни условия.

1. Да се намери най-простата двустъпална реализация на схемата. 7. Да се реализира зададената функция само с 3 мултиплексора 2-1. K (1,2,4,5, 9,10,12,13). 8. Да се реализира зададената функция само с 3 мултиплексора 2-1. K (0,1,5,6, 8,9,13,14). 9. Да се реализира зададената функция само с 3 входови ПЛМ.

Комплект, който не се чете от кора до кора, а се отваря при нужда. Всеки от тридесет и петте файла решава една конкретна задача и се използва в мига, в който тя е зададена. Материалите вървят по трудност и повтарят пътя на един семестър – от най-простото пресмятане до алгоритми, които се преподават чак в края на курса. Първото равнище е за начинаещи. Тук са задачите, при които програмата чете няколко числа и извежда резултат: работа по формула, избор между стойности, извеждане на отделна цифра, повторение чрез цикъл. Всяка от тях е кратка и е подходяща за първите часове, когато езикът още се усвоява. Второто равнище е работата с масиви и заема почти една трета от целия комплект. Едномерните са застъпени с четири решения, а двумерните – с осем, което е сериозна разлика. Причината е ясна: двумерните затрудняват най-много, а тук са покрити всички обичайни случаи, включително обхождане по диагонал и по периметър, преминаване между двата вида масиви и една задача с многосъставно условие. Третото равнище е рекурсията – единадесет решени задачи, най-голямата група в комплекта. В нея са всички класически примери, които се падат на изпит, а също и няколко проверки върху число, масив и редица. Достатъчно е ученикът да прегледа тази папка, за да види как една и съща идея работи в различни случаи. Четвъртото равнище са трите пълни упражнения. Първото събира алчните алгоритми, работата с низове и цяла поредица от методи за сортиране, всеки с име и с готов код. Второто е за двоичните дървета, графите и построяването на оптимално дърво. Третото е теоретично и разглежда вероятностните алгоритми по видове, с примери и с раздел за генераторите на случайни числа. Именно тези три файла отличават комплекта от обикновена сбирка със задачи: те дават теорията, върху която стъпват най-трудните теми. Оформлението е еднакво навсякъде: условие с едно изречение, после пълен изходен код, готов за компилиране. Езикът е един и същ през целия комплект, а стилът на писане не се променя от файл на файл – което улеснява четенето на чужд код. За преподавателя това е готов набор за упражнения през целия семестър. Файловете се раздават поединично или по теми, без нужда от подготовка, а трите упражнения вършат работа като материал за лекция. За студента ползата е в подредбата по трудност: подготовката може да върви от началото към края или да започне направо от темата, която предстои да се изпитва. Готовият код служи за образец при писане на собствено решение по курсова задача.

Осем страници, в които една структура от данни е разгледана от определението до три готови алгоритъма с код – точно каквото трябва за изпит по програмиране. Материалът е конспектен, но не е сбит до неразбираемост. Всяко понятие е въведено с определение и онагледено с пример, а алгоритмите не са само описани – дадени са с реален код и с проследено числено изпълнение. Първата част е терминологична и обхваща в плътна последователност всичко, което се пита: определението за граф, разликата спрямо дървото, видовете дъги и графи, инцидентност и съседство, степен на връх с отделните ѝ разновидности при ориентиран граф, път, дължина, прост път, цикъл, свързаност и подграфи. Означенията са въведени поред и се използват последователно нататък. Втората част е за представянето в паметта и е разделена на три подхода. Статичните са три на брой, всеки с приложена схема. Динамичното е дадено с готови структури, а комбинираното – с още една декларация. Тук е и бележката кога кой подход е за предпочитане. Следва списък с осемте основни операции, а веднага след него – деветте аксиоми, при които те са определени. Последната аксиома важи само за единия вид графи и това е изрично уточнено. Такова изброяване рядко се среща събрано на едно място. Средището са трите алгоритъма и всеки е разгърнат по един и същи начин. Първият е за най-къс път и е представен с постановка, с описание на работата чрез поддържане на множество, с числен пример и с масивите, използвани в него, а после и с пълен програмен код. Накрая е дадена сложността при двата начина на представяне. Вторият е за топологично сортиране. Тук е обяснено защо резултатът рядко е единствен, приведени са няколко възможни подредби, дадени са трите стъпки и е посочен обратният вариант на същия алгоритъм. Третият е за най-дълъг път и започва с практическа задача от разработването на програмен продукт, преведена в термините на графа. След трите стъпки и сложността следва напълно проследено числено изпълнение по стъпки, а накрая – указание как алгоритъмът се реализира рекурсивно. За преподавателя това е готова опора за няколко учебни часа, която не изисква подготовка. Трите алгоритъма вършат работа и поединично – като материал за упражнение или като тема за самостоятелна работа. За студента ползата е ясна: целият изпитен въпрос е събран на едно място, а програмният код и проследените числени примери спестяват търсенето по няколко източника. Материалът се преговаря непосредствено преди изпит и върши работа при курсова задача.